3.589 \(\int \frac{(c+d \sin (e+f x))^{3/2}}{\sqrt{a+a \sin (e+f x)}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=188 \[ -\frac{d \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{f \sqrt{a \sin (e+f x)+a}}-\frac{\sqrt{d} (3 c-d) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \sqrt{d} \cos (e+f x)}{\sqrt{a \sin (e+f x)+a} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )}{\sqrt{a} f}-\frac{\sqrt{2} (c-d)^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \sqrt{c-d} \cos (e+f x)}{\sqrt{2} \sqrt{a \sin (e+f x)+a} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )}{\sqrt{a} f} \]

[Out]

-(((3*c - d)*Sqrt[d]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])
])/(Sqrt[a]*f)) - (Sqrt[2]*(c - d)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[c - d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e
+ f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*f) - (d*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + a*Sin[
e + f*x]])

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.597811, antiderivative size = 188, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 6, number of rules used = 6, integrand size = 29, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.207, Rules used = {2778, 2982, 2782, 208, 2775, 205} \[ -\frac{d \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{f \sqrt{a \sin (e+f x)+a}}-\frac{\sqrt{d} (3 c-d) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \sqrt{d} \cos (e+f x)}{\sqrt{a \sin (e+f x)+a} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )}{\sqrt{a} f}-\frac{\sqrt{2} (c-d)^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \sqrt{c-d} \cos (e+f x)}{\sqrt{2} \sqrt{a \sin (e+f x)+a} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )}{\sqrt{a} f} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)/Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]],x]

[Out]

-(((3*c - d)*Sqrt[d]*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])
])/(Sqrt[a]*f)) - (Sqrt[2]*(c - d)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[c - d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[a + a*Sin[e
+ f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*f) - (d*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[a + a*Sin[
e + f*x]])

Rule 2778

Int[((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)/Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp
[(-2*d*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(n - 1))/(f*(2*n - 1)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]), x] - Dist[1/(b*(2*n
- 1)), Int[((c + d*Sin[e + f*x])^(n - 2)*Simp[a*c*d - b*(2*d^2*(n - 1) + c^2*(2*n - 1)) + d*(a*d - b*c*(4*n -
3))*Sin[e + f*x], x])/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] &&
EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[n, 1] && IntegerQ[2*n]

Rule 2982

Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(c_.) + (d_.)*sin
[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Dist[(A*b - a*B)/b, Int[1/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*
x]]), x], x] + Dist[B/b, Int[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e
, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

Rule 2782

Int[1/(Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> D
ist[(-2*a)/f, Subst[Int[1/(2*b^2 - (a*c - b*d)*x^2), x], x, (b*Cos[e + f*x])/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c
+ d*Sin[e + f*x]])], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 -
d^2, 0]

Rule 208

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-(a/b), 2]*ArcTanh[x/Rt[-(a/b), 2]])/a, x] /; FreeQ[{a,
b}, x] && NegQ[a/b]

Rule 2775

Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/Sqrt[(c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Dist[
(-2*b)/f, Subst[Int[1/(b + d*x^2), x], x, (b*Cos[e + f*x])/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])
], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

Rule 205

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]])/a, x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{(c+d \sin (e+f x))^{3/2}}{\sqrt{a+a \sin (e+f x)}} \, dx &=-\frac{d \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{f \sqrt{a+a \sin (e+f x)}}-\frac{\int \frac{-a \left (2 c^2-c d+d^2\right )-a (3 c-d) d \sin (e+f x)}{\sqrt{a+a \sin (e+f x)} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}} \, dx}{2 a}\\ &=-\frac{d \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{f \sqrt{a+a \sin (e+f x)}}+(c-d)^2 \int \frac{1}{\sqrt{a+a \sin (e+f x)} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}} \, dx+\frac{((3 c-d) d) \int \frac{\sqrt{a+a \sin (e+f x)}}{\sqrt{c+d \sin (e+f x)}} \, dx}{2 a}\\ &=-\frac{d \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{f \sqrt{a+a \sin (e+f x)}}-\frac{\left (2 a (c-d)^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{2 a^2-(a c-a d) x^2} \, dx,x,\frac{a \cos (e+f x)}{\sqrt{a+a \sin (e+f x)} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )}{f}-\frac{((3 c-d) d) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{a+d x^2} \, dx,x,\frac{a \cos (e+f x)}{\sqrt{a+a \sin (e+f x)} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )}{f}\\ &=-\frac{(3 c-d) \sqrt{d} \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \sqrt{d} \cos (e+f x)}{\sqrt{a+a \sin (e+f x)} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )}{\sqrt{a} f}-\frac{\sqrt{2} (c-d)^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \sqrt{c-d} \cos (e+f x)}{\sqrt{2} \sqrt{a+a \sin (e+f x)} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )}{\sqrt{a} f}-\frac{d \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{f \sqrt{a+a \sin (e+f x)}}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 16.9243, size = 1639, normalized size = 8.72 \[ \text{result too large to display} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)/Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]],x]

[Out]

((Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])*(-(d*Cos[(e + f*x)/2]) + d*Sin[(e + f*x)/2])*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/
(f*Sqrt[a*(1 + Sin[e + f*x])]) + ((Sqrt[2]*(c - d)^(3/2)*Log[1 + Tan[(e + f*x)/2]] - Sqrt[2]*(c - d)^(3/2)*Log
[c - d + 2*Sqrt[c - d]*Sqrt[(1 + Cos[e + f*x])^(-1)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]] + (-c + d)*Tan[(e + f*x)/2]] + (
I/2)*Sqrt[d]*(-3*c + d)*(Log[((2*I)*(I*c + d + (1 + I)*Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[(1 + Cos[e + f*x])^(-1)]*Sqrt[c +
d*Sin[e + f*x]] + (c + I*d)*Tan[(e + f*x)/2]))/(d^(3/2)*(-3*c + d)*(I + Tan[(e + f*x)/2]))] - Log[(-2*(c + I*d
+ (1 + I)*Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[(1 + Cos[e + f*x])^(-1)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]] + (I*c + d)*Tan[(e + f*x)/2]
))/(d^(3/2)*(-3*c + d)*(-I + Tan[(e + f*x)/2]))]))*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])*(c^2/((Cos[(e + f*x)/
2] + Sin[(e + f*x)/2])*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - (c*d)/(2*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])*Sqrt[c + d*S
in[e + f*x]]) + d^2/(2*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + (3*c*d*Sin[e + f*x])/
(2*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - (d^2*Sin[e + f*x])/(2*(Cos[(e + f*x)/2] +
Sin[(e + f*x)/2])*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])))/(f*Sqrt[a*(1 + Sin[e + f*x])]*(((c - d)^(3/2)*Sec[(e + f*x)/2]^
2)/(Sqrt[2]*(1 + Tan[(e + f*x)/2])) - (Sqrt[2]*(c - d)^(3/2)*(((-c + d)*Sec[(e + f*x)/2]^2)/2 + (Sqrt[c - d]*d
*Cos[e + f*x]*Sqrt[(1 + Cos[e + f*x])^(-1)])/Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]] + Sqrt[c - d]*((1 + Cos[e + f*x])^(-1))^
(3/2)*Sin[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]))/(c - d + 2*Sqrt[c - d]*Sqrt[(1 + Cos[e + f*x])^(-1)]*Sqrt[c + d*
Sin[e + f*x]] + (-c + d)*Tan[(e + f*x)/2]) + (I/2)*Sqrt[d]*(-3*c + d)*(((-I/2)*d^(3/2)*(-3*c + d)*(I + Tan[(e
+ f*x)/2])*(((2*I)*(((c + I*d)*Sec[(e + f*x)/2]^2)/2 + ((1 + I)*d^(3/2)*Cos[e + f*x]*Sqrt[(1 + Cos[e + f*x])^(
-1)])/(Sqrt[2]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + ((1 + I)*Sqrt[d]*((1 + Cos[e + f*x])^(-1))^(3/2)*Sin[e + f*x]*Sqrt[
c + d*Sin[e + f*x]])/Sqrt[2]))/(d^(3/2)*(-3*c + d)*(I + Tan[(e + f*x)/2])) - (I*Sec[(e + f*x)/2]^2*(I*c + d +
(1 + I)*Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[(1 + Cos[e + f*x])^(-1)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]] + (c + I*d)*Tan[(e + f*x)/2]))/
(d^(3/2)*(-3*c + d)*(I + Tan[(e + f*x)/2])^2)))/(I*c + d + (1 + I)*Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[(1 + Cos[e + f*x])^(-1
)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]] + (c + I*d)*Tan[(e + f*x)/2]) + (d^(3/2)*(-3*c + d)*(-I + Tan[(e + f*x)/2])*((-2*(
((I*c + d)*Sec[(e + f*x)/2]^2)/2 + ((1 + I)*d^(3/2)*Cos[e + f*x]*Sqrt[(1 + Cos[e + f*x])^(-1)])/(Sqrt[2]*Sqrt[
c + d*Sin[e + f*x]]) + ((1 + I)*Sqrt[d]*((1 + Cos[e + f*x])^(-1))^(3/2)*Sin[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])
/Sqrt[2]))/(d^(3/2)*(-3*c + d)*(-I + Tan[(e + f*x)/2])) + (Sec[(e + f*x)/2]^2*(c + I*d + (1 + I)*Sqrt[2]*Sqrt[
d]*Sqrt[(1 + Cos[e + f*x])^(-1)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]] + (I*c + d)*Tan[(e + f*x)/2]))/(d^(3/2)*(-3*c + d)*(
-I + Tan[(e + f*x)/2])^2)))/(2*(c + I*d + (1 + I)*Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[(1 + Cos[e + f*x])^(-1)]*Sqrt[c + d*Sin
[e + f*x]] + (I*c + d)*Tan[(e + f*x)/2])))))

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.328, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{ \left ( c+d\sin \left ( fx+e \right ) \right ) ^{{\frac{3}{2}}}{\frac{1}{\sqrt{a+a\sin \left ( fx+e \right ) }}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((c+d*sin(f*x+e))^(3/2)/(a+a*sin(f*x+e))^(1/2),x)

[Out]

int((c+d*sin(f*x+e))^(3/2)/(a+a*sin(f*x+e))^(1/2),x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{{\left (d \sin \left (f x + e\right ) + c\right )}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{a \sin \left (f x + e\right ) + a}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c+d*sin(f*x+e))^(3/2)/(a+a*sin(f*x+e))^(1/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((d*sin(f*x + e) + c)^(3/2)/sqrt(a*sin(f*x + e) + a), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 6.35524, size = 6151, normalized size = 32.72 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c+d*sin(f*x+e))^(3/2)/(a+a*sin(f*x+e))^(1/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[-1/8*(4*sqrt(2)*(a*c - a*d + (a*c - a*d)*cos(f*x + e) + (a*c - a*d)*sin(f*x + e))*sqrt((c - d)/a)*log(-(2*sqr
t(2)*sqrt(a*sin(f*x + e) + a)*sqrt(d*sin(f*x + e) + c)*sqrt((c - d)/a)*(cos(f*x + e) - sin(f*x + e) + 1) + (c
- 3*d)*cos(f*x + e)^2 + (3*c - d)*cos(f*x + e) - ((c - 3*d)*cos(f*x + e) - 2*c - 2*d)*sin(f*x + e) + 2*c + 2*d
)/(cos(f*x + e)^2 - (cos(f*x + e) + 2)*sin(f*x + e) - cos(f*x + e) - 2)) + (3*a*c - a*d + (3*a*c - a*d)*cos(f*
x + e) + (3*a*c - a*d)*sin(f*x + e))*sqrt(-d/a)*log((128*d^4*cos(f*x + e)^5 + 128*(2*c*d^3 - d^4)*cos(f*x + e)
^4 + c^4 + 4*c^3*d + 6*c^2*d^2 + 4*c*d^3 + d^4 - 32*(5*c^2*d^2 - 14*c*d^3 + 13*d^4)*cos(f*x + e)^3 - 32*(c^3*d
- 2*c^2*d^2 + 9*c*d^3 - 4*d^4)*cos(f*x + e)^2 + 8*(16*d^3*cos(f*x + e)^4 + 24*(c*d^2 - d^3)*cos(f*x + e)^3 -
c^3 + 17*c^2*d - 59*c*d^2 + 51*d^3 - 2*(5*c^2*d - 26*c*d^2 + 33*d^3)*cos(f*x + e)^2 - (c^3 - 7*c^2*d + 31*c*d^
2 - 25*d^3)*cos(f*x + e) + (16*d^3*cos(f*x + e)^3 + c^3 - 17*c^2*d + 59*c*d^2 - 51*d^3 - 8*(3*c*d^2 - 5*d^3)*c
os(f*x + e)^2 - 2*(5*c^2*d - 14*c*d^2 + 13*d^3)*cos(f*x + e))*sin(f*x + e))*sqrt(a*sin(f*x + e) + a)*sqrt(d*si
n(f*x + e) + c)*sqrt(-d/a) + (c^4 - 28*c^3*d + 230*c^2*d^2 - 476*c*d^3 + 289*d^4)*cos(f*x + e) + (128*d^4*cos(
f*x + e)^4 + c^4 + 4*c^3*d + 6*c^2*d^2 + 4*c*d^3 + d^4 - 256*(c*d^3 - d^4)*cos(f*x + e)^3 - 32*(5*c^2*d^2 - 6*
c*d^3 + 5*d^4)*cos(f*x + e)^2 + 32*(c^3*d - 7*c^2*d^2 + 15*c*d^3 - 9*d^4)*cos(f*x + e))*sin(f*x + e))/(cos(f*x
+ e) + sin(f*x + e) + 1)) + 8*(d*cos(f*x + e) - d*sin(f*x + e) + d)*sqrt(a*sin(f*x + e) + a)*sqrt(d*sin(f*x +
e) + c))/(a*f*cos(f*x + e) + a*f*sin(f*x + e) + a*f), -1/4*(2*sqrt(2)*(a*c - a*d + (a*c - a*d)*cos(f*x + e) +
(a*c - a*d)*sin(f*x + e))*sqrt((c - d)/a)*log(-(2*sqrt(2)*sqrt(a*sin(f*x + e) + a)*sqrt(d*sin(f*x + e) + c)*s
qrt((c - d)/a)*(cos(f*x + e) - sin(f*x + e) + 1) + (c - 3*d)*cos(f*x + e)^2 + (3*c - d)*cos(f*x + e) - ((c - 3
*d)*cos(f*x + e) - 2*c - 2*d)*sin(f*x + e) + 2*c + 2*d)/(cos(f*x + e)^2 - (cos(f*x + e) + 2)*sin(f*x + e) - co
s(f*x + e) - 2)) - (3*a*c - a*d + (3*a*c - a*d)*cos(f*x + e) + (3*a*c - a*d)*sin(f*x + e))*sqrt(d/a)*arctan(1/
4*(8*d^2*cos(f*x + e)^2 - c^2 + 6*c*d - 9*d^2 - 8*(c*d - d^2)*sin(f*x + e))*sqrt(a*sin(f*x + e) + a)*sqrt(d*si
n(f*x + e) + c)*sqrt(d/a)/(2*d^3*cos(f*x + e)^3 - (3*c*d^2 - d^3)*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) - (c^2*d - c*d^2 +
2*d^3)*cos(f*x + e))) + 4*(d*cos(f*x + e) - d*sin(f*x + e) + d)*sqrt(a*sin(f*x + e) + a)*sqrt(d*sin(f*x + e)
+ c))/(a*f*cos(f*x + e) + a*f*sin(f*x + e) + a*f), -1/8*(8*sqrt(2)*(a*c - a*d + (a*c - a*d)*cos(f*x + e) + (a*
c - a*d)*sin(f*x + e))*sqrt(-(c - d)/a)*arctan(-sqrt(2)*sqrt(a*sin(f*x + e) + a)*sqrt(d*sin(f*x + e) + c)*sqrt
(-(c - d)/a)/((c - d)*cos(f*x + e))) + (3*a*c - a*d + (3*a*c - a*d)*cos(f*x + e) + (3*a*c - a*d)*sin(f*x + e))
*sqrt(-d/a)*log((128*d^4*cos(f*x + e)^5 + 128*(2*c*d^3 - d^4)*cos(f*x + e)^4 + c^4 + 4*c^3*d + 6*c^2*d^2 + 4*c
*d^3 + d^4 - 32*(5*c^2*d^2 - 14*c*d^3 + 13*d^4)*cos(f*x + e)^3 - 32*(c^3*d - 2*c^2*d^2 + 9*c*d^3 - 4*d^4)*cos(
f*x + e)^2 + 8*(16*d^3*cos(f*x + e)^4 + 24*(c*d^2 - d^3)*cos(f*x + e)^3 - c^3 + 17*c^2*d - 59*c*d^2 + 51*d^3 -
2*(5*c^2*d - 26*c*d^2 + 33*d^3)*cos(f*x + e)^2 - (c^3 - 7*c^2*d + 31*c*d^2 - 25*d^3)*cos(f*x + e) + (16*d^3*c
os(f*x + e)^3 + c^3 - 17*c^2*d + 59*c*d^2 - 51*d^3 - 8*(3*c*d^2 - 5*d^3)*cos(f*x + e)^2 - 2*(5*c^2*d - 14*c*d^
2 + 13*d^3)*cos(f*x + e))*sin(f*x + e))*sqrt(a*sin(f*x + e) + a)*sqrt(d*sin(f*x + e) + c)*sqrt(-d/a) + (c^4 -
28*c^3*d + 230*c^2*d^2 - 476*c*d^3 + 289*d^4)*cos(f*x + e) + (128*d^4*cos(f*x + e)^4 + c^4 + 4*c^3*d + 6*c^2*d
^2 + 4*c*d^3 + d^4 - 256*(c*d^3 - d^4)*cos(f*x + e)^3 - 32*(5*c^2*d^2 - 6*c*d^3 + 5*d^4)*cos(f*x + e)^2 + 32*(
c^3*d - 7*c^2*d^2 + 15*c*d^3 - 9*d^4)*cos(f*x + e))*sin(f*x + e))/(cos(f*x + e) + sin(f*x + e) + 1)) + 8*(d*co
s(f*x + e) - d*sin(f*x + e) + d)*sqrt(a*sin(f*x + e) + a)*sqrt(d*sin(f*x + e) + c))/(a*f*cos(f*x + e) + a*f*si
n(f*x + e) + a*f), -1/4*(4*sqrt(2)*(a*c - a*d + (a*c - a*d)*cos(f*x + e) + (a*c - a*d)*sin(f*x + e))*sqrt(-(c
- d)/a)*arctan(-sqrt(2)*sqrt(a*sin(f*x + e) + a)*sqrt(d*sin(f*x + e) + c)*sqrt(-(c - d)/a)/((c - d)*cos(f*x +
e))) - (3*a*c - a*d + (3*a*c - a*d)*cos(f*x + e) + (3*a*c - a*d)*sin(f*x + e))*sqrt(d/a)*arctan(1/4*(8*d^2*cos
(f*x + e)^2 - c^2 + 6*c*d - 9*d^2 - 8*(c*d - d^2)*sin(f*x + e))*sqrt(a*sin(f*x + e) + a)*sqrt(d*sin(f*x + e) +
c)*sqrt(d/a)/(2*d^3*cos(f*x + e)^3 - (3*c*d^2 - d^3)*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) - (c^2*d - c*d^2 + 2*d^3)*cos(
f*x + e))) + 4*(d*cos(f*x + e) - d*sin(f*x + e) + d)*sqrt(a*sin(f*x + e) + a)*sqrt(d*sin(f*x + e) + c))/(a*f*c
os(f*x + e) + a*f*sin(f*x + e) + a*f)]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\left (c + d \sin{\left (e + f x \right )}\right )^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{a \left (\sin{\left (e + f x \right )} + 1\right )}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c+d*sin(f*x+e))**(3/2)/(a+a*sin(f*x+e))**(1/2),x)

[Out]

Integral((c + d*sin(e + f*x))**(3/2)/sqrt(a*(sin(e + f*x) + 1)), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{{\left (d \sin \left (f x + e\right ) + c\right )}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{a \sin \left (f x + e\right ) + a}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c+d*sin(f*x+e))^(3/2)/(a+a*sin(f*x+e))^(1/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*sin(f*x + e) + c)^(3/2)/sqrt(a*sin(f*x + e) + a), x)